di Alfonso D’Ambrosio

Ricordo ancora  le bellissime lezioni del mio prof di fisica all’Università sulla Relatività Generale.

Un giorno entro in classe e ci chiese: come facciamo a sapere di essere su una sfera senza uscire al di fuori di essa?

In sostanza: esistono delle proprietà intrinseche  che caratterizzano le figure geometriche?

In questi giorni, ho avviato alla programmazione le mie studentesse di Scienze Umane e di fonte alla programmazione del disegno di un quadrato mi hanno consegnato questo genere di script:

Fin qui tutto ok, fino a quando una studentessa mi porta una cosa del genere:

Nel primo caso le proprietà del quadrato non dipendono dal sistema di riferimento introdotto (a parte all’inizio vai in 0, 0) , nel secondo caso, invece, sì .

Le proprietà geometriche sono di tipo locale nel primo caso e globali nel secondo: nel primo caso il gattino si sposta indipendentemente da quello che farà dopo, nel secondo caso invece lo spostamento è legato al sistema di riferimento e quindi ad una visione dall’esterno.

Decido, allora, di indagare con loro le proprietà geometriche di diverse curve.

La geometria del gattino (anche qui mi sono ispirato al libro “La Geometria della Tartaruga”) pone interessanti questioni sulle proprietà globali e locali.
Il gattino disegna una curva un passo alla volta, lui sa cosa accade localmente e ci spinge quindi a cercare proprietà intrinseche.
Vediamo cosa accade quando costruiamo un semplice programma che disegna poligoni, che generalizza il disegno del quadrato ad esempio.
Provate a inserire angoli diversi (per 60, 1, 72, restituisce esagoni, cerchi, quadrati).
Il file è qui: https://scratch.mit.edu/projects/181433651/#editor
E’ qui che è possibile “giocare” modificando il blocco.
Ad angolo di 144 si crea una stella, è possibile modificarlo fino a creare una stella ma senza bordi.
Esiste una relazione tra l’angolo di rotazione ed il ripeti.
Sicuramente per avere una figura chiusa il gattino deve ritornare nella posizione iniziale con la giusta inclinazione. Il rapporto tra l’angolo totale di rotazione e il ripeto volte deve essere un intero!!
Cosa accade se non fosse così?
E’ facile modificare la funzione poligono opportunamente, con varianti interessanti: https://scratch.mit.edu/projects/181434228/#editor.
Per evitare il ripeti, è interessante inserire delle sotto procedure, quelle che si chiamano ricorsione: https://scratch.mit.edu/projects/181434837/#editor
Le ricorsioni permettono di fare cose fantastiche, se tipo dopo aver disegnato un quadrato si decide di modificare ad ogni lato di un passo costante, allora verranno fuori delle curve a spirali.
Ecco il programma di base: https://scratch.mit.edu/projects/181435016/#editor.
Per ottenere un quadrato a spirale, settare l’angolo a 90 (60 per triangolo e così via) . Modificare anche opportunamente l’incremento del lato per avere spaziature diverse.
Progetto qui: https://scratch.mit.edu/projects/181435190/#editor
Il blocco spirale permette di variare l’incremento sia sul lato sia sull’angolo, con bellissime varianti come queste:
https://scratch.mit.edu/projects/181435016/#editor
https://scratch.mit.edu/projects/181435614/
Vi ricordate della sfera? Bene vorrei poter disegnare una ellisse.
Gli studenti delle superiori sono abituati a tracciare una ellisse all’interno di un sistema di riferimento cartesiano (l’equazione canonica prevede di fissare il semiasse maggiore ed il semiasse minore), questo approccio è ovviamente estrinseco, di tipo globale.
Possiamo tracciare una ellisse su Scratch costruendo questo codice:
https://scratch.mit.edu/projects/181536906/
Ma quali proprietà intrinseche all’ellisse?
E’ intuitivo pensare che la rotazione ed ogni passo del gattino deve dipendere dalla curvatura locale (bassa o alta).
Non dimostrerò qui il perché (ne parleremo in una apposita lezione), ma provate il seguente codice (l’eccentricità sempre compresa tra 0 ed 1).
https://scratch.mit.edu/projects/181537237/#editor
Anche qui le varianti insegnano.
Provate a cambiare l’ordine dei blocchi delle rotazioni e le stesse rotazioni a destra e sinistra.
Cosa accade?
Dopo vari tentativi si può notare che esiste una proprietà che lega il numero n di ripetizioni (multipli di 360) e i lati dei poligoni curvilinei ed ancora che le rotazioni a destra e a sinistra totali devono essere bilanciati tra loro.
https://scratch.mit.edu/projects/181538801/#editor
Cosa accade se le rotazioni totali sono in rapporto di numeri primi tra loro?
Insomma le varianti sono tantissime e la cosa interessante è che le proprietà locali della geometria con Scratch ci inducono a trovare relazioni, teoremi, difficilmente realizzabili con relazioni estrinseche tra le coordinate.
E se volessimo costruire poligoni curvilinei?
Partendo dal programma dell’ellisse, si nota che esiste una relazione tra ripeti, numero lati curvilinei e rapporto tra le due rotazioni a destra (ma con somma sempre 2n, vedi figure in basso).
https://scratch.mit.edu/projects/181538801/#editor
Sembra un gioco ma non lo è, è la magia della matematica, anzi della geometria con Scratch!
Ps riuscite a capire come distinguere se si è su una sfera o su un piano, o su una ellisse o una retta quindi?
Buona sperimentazione
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