di Morena De Poli

Parte 2

Vorrei proporre qui una testimonianza di come la matematica, in particolare il numero, si possa intersecare con altre sfere, in questo caso l’arte. Quei numeri che a molti sembrano entità aride, proprie della sfera razionale e quindi incapaci di suscitare emozioni, in realtà possono rivelare mistero ed essere stupefacenti.

Per questo, ricordiamo la successione di Fibonacci:

1 1 2 3 5 8 13 21 . . .

già presentata in una delle lezioni precedenti.

Si tratta di una delle successioni più affascinanti e misteriose e spesso mi chiedo se Fibonacci si fosse reso conto di tutti i risvolti della sua scoperta. Infatti, oltre al più noto suo legame con φ, il rapporto aureo, esistono altre caratteristiche molto particolari.

Una di queste è stata individuata dal pittore Tobia Ravà e per molti anni è rimasta solo una congettura, nota appunta come “congettura di Ravà”.

La sua appartenenza ad una famiglia ebraica, e quindi lo studio della cabala, ha fatto sì che i numeri fossero sempre presenti nella sua vita e nella sua espressione artistica. Semplificando molto, nella cabala ad ogni entità viene associato un numero detto teosofico dalle sorprendenti proprietà; ad esempio, sommando il numero teosofico di mamma a quello di papà, si ottiene il numero teosofico di figlio.

Tobia Ravà, che ho conosciuto personalmente, mi ha mostrato i suoi quaderni nei quali, con calcoli manuali, si è dilettato a studiare la successione di Fibonacci e ha osservato una regolarità nei numeri tesofici dei termini della successione, verificata dal pittore fino ai quei termini che potessero essere scritti sulle due facciate del quaderno aperto. Alcuni anni fa la sua congettura è stata dimostrata dal matematico Federico Giudiceandrea e la dimostrazione è al seguente link: http://elogiodelfinito.blogspot.it/2007/03/la-congettura-di-rava.html

Nel campo numerico, il numero teosofico si calcola sommando le cifre di cui si compone il numero stesso, se la somma risulta maggiore di 9 si continua a sommare le cifre della somma e così via fino ad ottenere quindi un numero ad una sola cifra. Ravà aveva individuato che il numero teosofico di ogni termine della successione di Fibonacci si ripete dal 25° termine, ottenendo quindi una successione periodica di periodo 24.

Poichè il calcolo manuale, come ho osservato sui quaderni di Ravà, è piuttosto oneroso, è più conveniente utilizzare Python e costruire le seguenti funzioni:

  • una per calcolare ciascun termine della sequenza di Fibonacci data la sua posizione

  • una per calcolare il numero teosofico di un qualsiasi numero

Mediante un ciclo for sarà poi possibile mostrare a video una tabella con la posizione del termine, il suo valore, il numero teosofico corrispondente.

Per osservare la periodocità sarebbe necessario calcolare almeno 50 termini.

Il calcolo è stato interrotto al 37° termine poiché i tempi di elaborazione risultavano piuttosto elevati (è possibile ottimizzare le funzioni per ridurre tali tempi?)

Si può ugualmente osservare che a partire dal 25° termine i numeri teosofici di si ripetono.

Osservazioni:

  • nelle due funzioni costruite non è stato previsto il controllo che il valore assegnato al parametro n sia maggiore di 0; inserendo tale controllo all’interno delle funzioni, uno dei loro possibili risultati dovrebbe essere quindi una frase di errore, e questo renderebbe disomogenei i risultati; considerando l’uso che abbiamo fatto delle funzioni, ho ritenuto superfluo tale controllo sulla validità del parametro n

  • la scrittura teosof(fibo(i)) , visibile nell’istruzione print alla fine del programma, mette in evidenza la caratteristica tipica del paradigma di programmazione funzionale attuato da Python: teosof viene applicata al risultato della funzione fibo invocata sul parametro i. Dal punto di vista algebrico, si può parlare di composizione di funzioni

  • un approfondimento dell’istruzione print permette di utilizzare i codici necessari per allineare i valori mostrati a video nelle tre colonne; nell’immagine,ecco i codici per distanziare le colonne di 10 caratteri:

  • la funzione teosof è stata costruita presupponendo il calcolo su numeri aventi al massimo 19 cifre; è certamente un limite, ma avendo già osservato i lunghi tempi di elaborazione della funzione fibo, ho pensato che non ci saremmo mai spinti oltre tale limite.

Limite … ecco un altro concetto che favorisce l’incontro tra sfere apparentemente diverse: Matematica e Filosofia … ma di questo, parleremo un’altra volta.

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