di Alfonso D’Ambrosio alfonsodambrosio@yahoo.it

 

Buongiorno, in attesa di un ampio articolo sul moto Browniano, vi presento oggi un affascinante problema presente nel libro Mathematical Circus di Martin Gartner.

Il problema in essere è stato risolto da Enn Norak , un matematico canadese nel 1959 ma oggi voglio discutere e trovare con voi alcune soluzioni

Vediamo il testo del problema:

Un giocatore parte da una posizione 100 e può muoversi lungo una linea senza barriere.

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Vengono posizionate su un banco 10 carte, 5 di colore rosso e 5 di colore nero nero, il giocatore mescola le carte (mescolamento casuale ma sempre 5 rosse e 5 nere restano)

Il giocatore inizia a girare dalla prima carta e se esce una carta rossa il giocatore si muove a sinistra, se nera si muove a destra.  Lo spostamento è pari sempre alla metà della sua posizione dallo zero in quel momento.

 

Esempio esce una prima carta rossa, il giocatore è all’inizio a 100 , quindi si sposta a sinistra di 100/2 passi ed arriva a 50, poi esce una nera e si muove a destra di 50/2 passi ovvero va nella posizione 75. E così via fino alla decima carta.

La prima domanda che si pone è: alla fine della decima carta la sua posizione sarà a destra o a sinistra della sua posizione iniziale?

Essendo il mescolamento poi del tutto casuale, ci aspettiamo che la posizione finale dipenda dal mescolamento delle carte, no?

E qui sta il paradosso!!!

La cosa sorprendente, come si può notare da questa simulazione in Scratch, è che la sua posizione finale sarà sempre la stessa ed ovvero a circa 23,73 dallo zero.

Note tecniche.

La generazione delle carte è ottenuta dall’algoritmo mirabile di Jgatcomb

https://scratch.mit.edu/projects/11888022/#editor

ed è basato sull’algoritmo di Fisher e Yates

http://en.wikipedia.org/wiki/Fisher-Yates_shuffle

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Ho utilizzato Scratch perchè è uno strumento semplice e qui il codice serve solo come verifica della congettura non dimostrandola!

 

Perchè accade questo? Chi riesce a trovare la soluzione a questo problema?

Cosa cambia se il numero di carte iniziali sono 3 nere e 7 rosse? Oppure puoi decidere di cambiare il numero di colori? Prova questa simulazione di Scratch più completa dove puoi cambiare le quantità di colori iniziali.

https://scratch.mit.edu/projects/138959495/

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Vuoi sapere la soluzione?

Allora leggi in fondo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pongo questo problema durante i miei corsi di formazione ai docenti matematica e talvolta anche ai miei studenti.

Ad oggi ho trovato 3 possibili soluzioni, ma mi piace mostrarvi una molto semplice ed è basata sul metodo di induzione.

La prima cosa da provare è che il mescolamento delle carte in maniera casuale non influisce sul risultato finale.

Proviamolo per 2 carte.

Se esce rosso e poi nero allora all’inizio sono a 100 poi vado a -100/2 ovvero a 50 , con il nero vado a 50+50/2 e quindi mi ritrovo a 75.

 

Se fosse uscito prima nero, allora ero a 100 poi a 100+100/2 quindi 150, esce poi rosso e vado a 150-150/2 , quindi a 75.

 

Supponiamo che la cosa sia vera per n carte pari dove abbiamo n/2 rosse e n/2 bianche e dimostriamolo per n+2 carte (principio di induzione. NB la dimostrazione può essere generalizzata anche per un numero diverso di carte rosse e nere).

 

Supponiamo allora di aver estratto n carte, dato che per queste non conta l’ordine possiamo pensare di ordinarle secondo un’uscita di n/2 rosse ed n/2 nere, a questo punto ci ritroviamo in una posizione fissata, estraiamo le altre due, ma poichè abbiamo visto all’inizio per due carte l’ordine non cambia, abbiamo provato che il mescolamento casuale non influisce sulla posizione iniziale.

 

Come facciamo a trovare la posizione finale?

A questo punto possiamo pensare di avere le prime 5 carte nere e le successive 5 rosse.

Il conto è banale e si può dimostrare che vale la seguente formula che determina la distanza dalla posizione iniziale:

randoma2

dove a è la posizione iniziale ed n è il numero di carte rosse o nere.

 

Se qualcuno trovasse altre soluzioni mi scriva pure in privato o nei commenti.

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